编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数  。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符  

示例 1：
输入：word1 = “horse”, word2 = “ros”
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 ‘h’ 替换为 ‘r’)
rorse -> rose (删除 ‘r’)
rose -> ros (删除 ‘e’)

示例 2：

输入：word1 = “intention”, word2 = “execution”
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 ‘t’)
inention -> enention (将 ‘i’ 替换为 ‘e’)
enention -> exention (将 ‘n’ 替换为 ‘x’)
exention -> exection (将 ‘n’ 替换为 ‘c’)
exection -> execution (插入 ‘u’)

动态规划

对于两个串A和B，编辑动作可以归纳为三类：

1. A后添加一个数字
2. B后添加一个数字
3. A修改一个数字

dp[i][j]表示A的前i个字符和B的前j个字符的编辑距离。
可以拆解为三个子问题：

1. dp[i-1][j], A的前i-1个字符和B的前j个字符, 可以通过A后添加一个数字得到目标问题
2. dp[i][i-1], 同理，可以在B后添加一个数字得到目标问题
3. dp[i-1][j-1], A的前i-1个字符和B的前j-1个字符, 我们可以修改A的第i个字符使之和B的第j个字符一致得到目标问题。
   如果二者原本相同，则不需要修改，否则编辑距离+1。

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.length();
        int n = word2.length();
        if (m * n == 0){
            return m + n;
        } 

        vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1));
        for (int i = 0; i < m+1; i++){
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int j = 0; j < n+1; j++){
            dp[0][j] = j;
        }
        for (int i = 1; i < m+1; i++){
            for (int j = 1; j < n+1; j++){
                int top = dp[i-1][j] + 1;
                int left = dp[i][j-1] + 1;
                int left_top = dp[i-1][j-1];
                // 注意，字符串序号与dp序号差1
                if (word1[i-1] != word2[j-1]){
                    left_top += 1;
                }
                dp[i][j] = min(top, min(left, left_top));
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};