222. 完全二叉树的节点个数

给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。

完全二叉树 的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2h 个节点。

 

示例 1：

输入：root = [1,2,3,4,5,6]
输出：6
示例 2：

输入：root = []
输出：0
示例 3：

输入：root = [1]
输出：1  

提示：

树中节点的数目范围是[0, 5 * 104]
0 <= Node.val <= 5 * 104
题目数据保证输入的树是 完全二叉树  

进阶：遍历树来统计节点是一种时间复杂度为 O(n) 的简单解决方案。你可以设计一个更快的算法吗？

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直接深度优先遍历

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        return countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;
    }

    
};

二分查找

若完全二叉树层数为h，根为0层，最后一层也就是第h层的节点数为1至2^h之间，总的节点数为[2^h, 2&(h+1)-1]
可以通过二分法判断。

如果判断最后一层的一个节点是否存在 是核心的问题。可以通过位运算来确定。

整体的时间复杂度为O(log^2n)

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        int h = 0;
        TreeNode *node = root;
        while (node->left != nullptr) {
            h++;
            node = node->left;
        }
        if (h == 0) return 1;
        int left = 1 << h, right = (1 << (h+1)) - 1;
        while (left <= right) {
            // cout << "left:" << left << " right:" << right << endl;
            int mid = left + ((right-left) >> 1);
            if (exists(root, h, mid)) {
                left = mid + 1;
            }else{
                right = mid - 1;
            }
        }
        // cout << "left:" << left << " right:" << right << endl;
        return left - 1;
    }

    bool exists(TreeNode *root, int level, int k) {
        int bits = 1 << (level-1);
        while (bits > 0 && root != nullptr) {
            if ((bits & k) == 0) {
                root = root->left;
            }else {
                root = root->right;
            }
            bits >>= 1;
        }
        return root != nullptr;
    }
};